Espaces euclidiens, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme et distance associées. Angles, orthogonalité. Projection orthogonale sur un sous-espace. Bases orthonormales, orthogonalisation de Schmitt. Matrices définies positives, décomposition polaire.

Groupe orthogonal, classification des isométries de l’espace euclidien en dimensions 2,3, en
dimension n.

Endomorphismes symétriques de l’espace euclidien, diagonalisabilité des matrices symétriques en base orthonormée.

Espaces hermitiens définis positifs. Matrices hermitiennes définies positives. Groupe unitaire.
Matrices normales, leur diagonalisabilité en base unitaire.

Dualité : dual d’un espace vectoriel, d’un morphisme. Liens avec les hyperplans. Base duale
d’une base, base antéduale. Isomorphisme d’un espace vectoriel avec son bidual.

Forme bilinéaire symétrique (FBS), forme quadratique associée. Matrice d’une forme quadratique dans une base. Equivalences entre formes quadratiques. Noyau, rang d’une FBS. Existence de bases orthogonales ; décomposition d’une FBS en somme de carrés de formes
linéaires. Traduction matricielle. Algorithme de Gauss. Classification des FBS sur R, sur C (théorème d’inertie de Sylvester).